1.4.2 Fórmulas bien formadas.
Las sentencias en la Lógica Proposicional también se conocen como fórmulas bien formadas (fbf). La sintaxis de las fórmulas bien formadas es la siguiente:
Si P y Q son proposiciones atómicas, entonces:
- P es una fbf.
- Q es una fbf.
- P ∨ Q es una fbf.
- P ∧ Q es una fbf.
- ~P es una fbf.
- ~Q es una fbf.
- P → Q es una fbf.
- P ↔ Q es una fbf.
Así pues, toda proposición simple es una fórmula bien formada, y toda combinación de proposiciones simples con los conectivos lógicos en la forma que se muestra en la lista anterior, también son fórmulas bien formadas.
Los siguientes son ejemplos de fórmulas bien formadas:
- Q ∨ (P ∧ R)
- (P ∧ ~R) ∨ (Q ↔ T)
- P ∨Q ∨R → R ∧ T
Como podemos ver, aunque no tenemos idea alguna de la posible interpretación de las sentencias anteriores, asunto que al Cálculo Proposicional no le interesa, basta con que sean fórmulas bien formadas para poder trabajar con ellas.
Los siguientes son ejemplos de fórmulas que no están bien formadas, porque no utilizan los conectivos lógicos en forma correcta:
- Q ∨
- → R ∧ T
- Q~
- P ∧ (Q∧)
- Valor de verdad de las fórmulas bien formadas.
Según su valor de verdad, las fórmulas bien formadas pueden ser:
- Tautologías, son fórmulas que toman el valor Verdadero para todos los posibles valores de sus variables.
- Contradicciones, son fórmulas que toman el valor Falso para todos los posibles valores de sus variables.
- Contingencias, son fórmulas que toman indistintamente el valor Verdadero o Falso, dependiendo de los valores de sus variables.
- Tablas de verdad de fórmulas bien formadas.
Una forma de determinar si una proposición compuesta es una tautología, una contradicción o una contingencia es obtener su valor de verdad para todas y cada una de las posibles combinaciones de los valores de verdad de sus elementos. Algunos autores llaman a este procedimiento "construcción de paradigmas", la mayoría lo llaman "construcción de tablas de verdad".
Para una proposición molecular compuesta por n proposiciones simples, ¿Cuántas posibles combinaciones de los valores de verdad de esas n proposiciones hay?
La fórmula para obtener este dato es: 2n
Es decir, para una proposición compuesta formada por 2 proposiciones simples hay 2² = 4 combinaciones posibles de los valores de verdad de esas 2 proposiciones. Para una proposición molecular formada por 3 proposiciones simples, hay 2³ = 8 posibles combinaciones. Para una proposición molecular formada por 4 proposiciones simples hay 2^4 = 16 posibles combinaciones ¿Cuáles son esas 2^n posibles combinaciones?
Vamos a ilustrar por medio de un ejemplo una forma mecánica de obtener todas las posibles combinaciones de los valores de verdad de n proposiciones.
Por ejemplo, para una proposición compuesta por las proposiciones simples P y Q, tenemos las siguientes combinaciones de sus valores de verdad, dado que son 2 proposiciones sabemos que hay 4 combinaciones posibles, por tanto empezamos con una tabla que contenga 4 renglones y 2 columnas (una para P y otra para Q):
P Q V F V F En la primera columna, la que está al extremo derecho, alternamos un Verdadero y un Falso, como se muestra en la tabla anterior.
En la siguiente columna alternamos dos Verdaderos con dos Falsos, cómo se muestra a continuación:
P Q V V V F F V F F Y así obtenemos las 4 posibles combinaciones de los valores de verdad de dos proposiciones.
Para tres proposiciones, sabemos son 8 posibles combinaciones, por tanto, empezamos con una tabla con 8 renglones y tres columnas. Por ejemplo, para las proposiciones P, Q y R tenemos la siguiente tabla:
P Q R V F V F V F V F Como puedes ver, empezamos a llenar la tabla alternando un V y un F en la columna del extremo derecho de la tabla, la columna de la R en nuestro caso.
En la siguiente columna alternamos dos Verdaderos con dos Falsos, como se muestra enseguida:
P Q R V V V F F V F F V V V F F V F F Por último, en la columna del extremo izquierdo, alternamos 4 Verdaderos con 4 Falsos, como se ilustra enseguida:
P Q R V V V V V F V F V V F F F V V F V F F F V F F F Siguiendo este procedimiento, las 16 posibles combinaciones para 4 variables son las siguientes:
P Q R S V V V V V V V F V V F V V V F F V F V V V F V F V F F V V F F F F V V V F V V F F V F V F V F F F F V V F F V F F F F V F F F F Nota que en la columna de la Q alternamos 4 Verdaderos con 4 Falsos hasta llenar los 16 renglones y en la columna de la P alternamos 8 Verdaderos con 8 Falsos.
Una vez que obtenemos las 2^n posibles combinaciones de los valores de verdad de los n elementos de una proposición compuesta, podemos proceder a evaluar dicha proposición para cada uno de los valores de verdad de sus componentes.
Vamos a ilustrar este procedimiento con un ejemplo. Se desea obtener la tabla de verdad de la siguiente proposición compuesta:
P ∧ (Q ^ R)
Esta proposición molecular está compuesta por dos conectivos lógicos: una conjunción (^) y una disyunción (∨). Por tanto, en la tabla de verdad habrá una columna para cada una de ellas. Por otro lado, dado que se trata de una proposición compuesta formada por tres proposiciones simples, hay 8 posibles combinaciones de los valores de verdad de estos componentes. Así que, tendremos una tabla con 5 columnas (una para cada una de las variables, más una para la conjunción y otra para la disyunción). De tal modo que nuestra tabla hasta este momento es la siguiente:
P Q R Q ^ R P v (Q ^ R) V V V V V F V F V V F F F V V F V F F F V F F F Recordando la tabla de verdad de la conjunción, tenemos que ésta es Verdadera sólo cuando todos sus elementos son Verdaderos, por tanto, la columna Q^R sólo es Verdadera cuando Q y R son ambos Verdaderos y Falsa en cualquier otro caso. Q y R son ambos Verdaderos en los renglones 1 y 5. De esta forma, tenemos la tabla en el siguiente estado:
P Q R Q^R Pv(Q^R) V V V V V V F F V F V F V F F F F V V V F V F F F F V F F F F V Ahora debemos calcular los valores de verdad para la disyunción de P con Q^R. Recordando la tabla de verdad de la disyunción, tenemos que ésta es Falsa sólo cuando todos sus componentes son Falsos. Esto se da en los renglones 6 y 7, entonces tenemos la siguiente tabla de verdad para esta proposición compuesta:
P Q R Q^R Pv(Q^R) V V V V V V V F F V V F V F V V F F F V F V V V V F V F F F F F V F F F F F F F De la tabla de verdad, vemos que esta proposición es una contingencia, porque toma ambos valores de verdad.
Veamos otro ejemplo. Vamos a obtener la tabla de verdad de la siguiente proposición compuesta:
P → Q^R
Otra vez tenemos tres proposiciones simples y dos conectivos: la conjunción y la implicación. Por lo que nuestra tabla de verdad tendrá 5 columnas y 8 renglones, como se muestra enseguida:
P Q R Q^R P →(Q^R) V V V V V F V F V V F F F V V F V F F F V F F F Como anteriormente mencionamos, la conjunción es Verdadera sólo cuando todos sus elementos son Verdaderos, por tanto la columna Q^R sólo es Verdadera cuando Q y R son ambos Verdaderos y Falsa en cualquier otro caso. P y Q son ambos Verdaderos en los renglones 1 y 5. Así, tenemos la tabla en el siguiente estado:
P Q R Q^R P →(Q^R) V V V V V V F F V F V F V F F F F V V V F V F F F F V F F F F F De la tabla de verdad de la implicación, tenemos que ésta es Falsa cuando el antecedente es Verdadero y la conclusión es Falsa, y es Verdadero en todos los demás casos. El antecedente Verdadero y la conclusión Falsa se dan en los renglones 2, 3 y 4. Por tanto, la tabla final queda como se muestra a continuación:
P Q R Q^R P →(Q^R) V V V V V V V F F F V F V F F V F F F F F V V V V F V F F V F F V F V F F F F V De la tabla de verdad vemos que esta proposición también es una contingencia.
Vamos a realizar un último ejemplo construyendo la tabla de verdad de la siguiente proposición compuesta:[(P↔Q) ^ Q] → P
En este caso, sólo tenemos dos proposiciones simples (P y Q) y tres conectivos: la bicondicional, la conjunción y la implicación. De tal forma que nuestra tabla tendrá 4 renglones y 5 columnas.
P↔Q es Verdadera cuando ambas son iguales, esto sucede en los renglones 1 y 4. (P↔Q)^Q es Verdadera cuando ambos son Verdaderos. Esto se da sólo en el renglón 1. Hasta aquí, tenemos la siguiente tabla de verdad:
P Q P↔Q (P↔Q)^Q [(P↔Q)^Q] →P V V V V V F F F F V F F F F V F La última columna es la implicación, que sólo es Falsa cuando el antecedente es Verdadero y la conclusión Falsa. El único lugar donde el antecedente es Verdadero es en el primer renglón, y en este caso el consecuente es Verdadero, así que esta implicación siempre es Verdadera. La tabla final es la siguiente, de donde podemos ver que esta proposición es una tautología.
P Q P↔Q (P↔Q)^Q [(P↔Q)^Q] →P V V V V V V F F F V F V F F V F F V F V Resumen.
En esta sección conociste los símbolos de la Lógica Formal, las reglas sintácticas para elaborar fórmulas bien formadas y una manera un tanto mecánica de obtener la tabla de verdad de proposiciones compuestas. Ya es tiempo de abordar la segunda actividad entregable de este ciclo, la tarea 2: elaboración de las tablas de verdad de algunas proposiciones compuestas.¡Mucha suerte y manos a la obra!
