4.3 Vectores en el espacio
Imprime este documento

En un espacio tridimensional podemos representar coordenadas, vectores, los cuales, conllevan una coordenada extra, eso se debe a que en un espacio tridimensional se añade un tercer eje llamado eje z, por lo que una coordenada ahora se representa como . A continuación se muestra un espacio en tres dimensiones.

Un vector cuyo punto inicial es el origen del sistema coordenado y su punto final sea se muestra a continuación:

Supón que deseamos encontrar un vector que tiene como punto inicial como punto final este vector está dado por:

Ejemplo 1. Encuentra el vector que tiene como punto inicial y punto final

Usando la fórmula , el vector será:

Su gráfica es:

Suma de vectores
Si tenemos dos vectores en el espacio 3D y , entonces, tendremos:

4.3.1 Resta de vectores

Si tenemos dos vectores en el espacio 3D y

entonces la diferencia de w de v, denotado por v-w se define como:

Las propiedades de los vectores en el plano que se revisaron anteriormente, se cumplen para los vectores en el espacio.

Ejemplo 2. Dado los vectores 3D,

calcula la cantidad indicada:

b)

y su gráfica es:

c)

y su gráfica es:

d)

y su gráfica es:

4.3.2 Norma de un vector

Si v es un vector, entonces a la magnitud del vector se le llama norma del vector y se denota por . Para un vector , se tiene:
Donde u es un vector unitario.

Ejemplo 3. Dado , se tiene

Donde u es un vector unitario.
Ejemplo 3. Dado , encuentra un vector unitario que:
a) Apunte a la misma dirección que v.

b) Apunte en dirección opuesta que v.

a) Se obtiene la norma de v, y el vector unitario en la misma dirección que v:

Y se aplica la fórmula para un vector unitario:

Y su gráfica demuestra que u está en la misma dirección de v.

b) Para encontrar un vector unitario en dirección opuesta de v, entonces, si ya tenemos u en dirección de v, para encontrar el vector unitario en sentido opuesto solamente se multiplica por -1 el vector u.

4.3.3 Producto punto
Si se tienen dos vectores y en el espacio 3D, entonces:

Resultando un escalar después de haber realizado las operaciones.

4.3.4 Ángulo entre dos vectores

Si se tienen dos vectores de posición u y v en R3.

El ángulo formado por estos dos vectores está dado por la fórmula:

Esta fórmula es el resultado de aplicar la ley de los cosenos a la figura anterior.

Ejemplo 4. Encuentra el ángulo entre los vectores y

Se aplica la fórmula , entonces

y sustituyendo estos valores en la fórmula:

y el ángulo es

Podemos obtener la magnitud de y así comprobar que el vector u es un vector unitario.

4.3.5 Vector unitario

Dado un vector v en el espacio 3D, se define un vector unitario como:

a) -a

b)  a + b

c)  a - c

d)

a)

y su gráfica es:

AnteriorSiguiente