Hay integrales que no se pueden resolver por ninguno de los métodos descritos; sin embargo, es posible encontrar unas fórmulas, llamadas de reducción, que permitirán resolver algunas integrales que dependen de un número natural n, siempre que se sepa resolver la integral para n - 1 o n - 2.

Existen las fórmulas para las diferenciales binomias y para las diferenciales trigonométricas.

Fórmulas de reducción para diferenciales binomias

La fórmula 1 disminuye n unidades a m, y falla cuando np+m+1=0.
La fórmula 2 disminuye 1 unidad a p, y falla cuando np+m+1=0.
La fórmula 3 aumenta n unidades a m, y falla cuando m+1=0.
La fórmula 4 aumenta 1 unidades a p, y falla cuando p+1=0.

Ejemplo 1. Demostrar que

Solución. Aquí m = 4, a = a2, b = -1, n = 2 y p =-1/2, donde aplicamos la fórmula 1 para que el valor de m se reduzca en 2 unidades, se tiene:

Se aplica nuevamente la fórmula 1, ya que m tiene 2 unidades y con esta fórmula se reduce en 2, entonces m = 2, n = 2, a = a2, b = -1 y p =-1/2. Se tiene:

Aplicando la fórmula 63 de la tabla de integrales. Se tiene:

Ejemplo 2. Demostrar

.

Solución. Aquí m = 0, n = 2, a = a2, b = 1 y p = 1/2, donde aplicamos la fórmula 2 para disminuir en una unidad a p, se tiene:

Aplicando la fórmula 40 de la tabla de integrales

.

Se tiene:

Fórmulas de reducción para diferenciales trigonométricas.

La fórmula 5 disminuye 2 unidades a n, y falla cuando m+n = 0.
La fórmula 6 disminuye 2 unidades a m, y falla cuando m+n = 0.
La fórmula 7 aumenta 2 unidades a n, y falla cuando n+1 = 0.
La fórmula 8 aumenta 2 unidades a m, y falla cuando m+1 = 0.

Ejemplo 3. Demostrar

:.

Solución. Aquí m = 4, n = 2. Aplicando la fórmula 5, para que la potencia de n disminuya en 2 unidades.

Se obtiene otra integral con m = 4, n = 0; por lo tanto, aplicamos la fórmula 6, para reducir en 2 unidades a m.

Se obtiene otra integral con m = 2, n = 0; por lo tanto, aplicamos de nuevo la fórmula 6, para reducir en 2 unidades a m.

Ejemplo 1. .

Solución. Aquí m = 3, n = 2, a = 1, b = -1 y p = -1/2. Aplicando la fórmula 1, la integración de esa fórmula se reduce a y se aplica la fórmula de integración de potencias.