4.1.1 Introducción

En este tema veremos el concepto de vector, sus propiedades, su gráfica en el plano, así como los vectores negativos, el vector cero, el producto de un vector por un escalar y sus propiedades. Los ejemplos para un plano, un espacio y un espacio n-dimensional se verán en los próximos temas.

Un vector puede ser representado geométricamente por un segmento de línea dirigido desde el punto A, llamado punto inicial, hasta el punto B, llamado punto final, como se muestra a continuación.

Para diferenciar a los vectores, éstos se representan en minúscula y en negritas, por ejemplo, el vector anterior puede ser representado también por,

donde se coloca primeramente al punto inicial A y después al punto final B, con un segmento de flecha que abarca desde A hasta B.

Dos son las características más importantes que posee un vector y son: la dirección y la magnitud (longitud del segmento de línea).

Observa que la dirección es un ángulo que se mide en sentido contrario a las manecillas del reloj.

Se dice que dos vectores con la misma magnitud pero diferente dirección son vectores diferentes; asimismo, dos vectores con igual dirección pero diferente magnitud también son diferentes.

Y dos vectores son iguales si tienen la misma dirección y la misma magnitud, aun si poseen diferentes puntos inicial y final. Entonces escribimos,

En la figura siguiente se muestran cuatro vectores iguales, ya que poseen la misma dirección y magnitud.

Observa que tienen diferente punto inicial, pero su magnitud y dirección son similares.

4.1.2 Vector cero

El vector cero se denota como 0, es un vector sin ninguna longitud. Debido a que no existe longitud en un vector cero, en un problema dado puede tomar cualquier dirección. Observa que en la siguiente figura hay cuatro vectores cero con diferente punto de origen.

4.1.3 Vector negativo

Si se tiene un vector v, entonces el vector negativo de v, denotado por -v, se define como el vector con la misma magnitud que v, pero con sentido contrario, como se muestra en la siguiente figura.

Observa que para encontrar el negativo de un vector, o también llamado el inverso aditivo, sólo basta con multiplicar al vector por -1.

4.1.4 Suma de dos vectores

Si tenemos dos vectores v y w, y queremos realizar la suma de ambos, denotada por v + w, hacemos que coincida el punto inicial de w con el punto final de v. El vector resultante nuevo inicia, válgase la redundancia, con el punto inicial de v y finaliza con el punto final de w; es la suma de los dos vectores, o v + w.

En la primer gráfica representamos primero a v y luego a w, y se obtiene el vector resultante v + w. Observa que para la gráfica de enmedio, primero colocamos a w y después a v y se obtiene el mismo vector resultante w + v. Por lo que concluimos que v + w = w + v.

4.1.5 Resta de vectores

Si tenemos dos vectores v y w, entonces la diferencia de w de v se puede colocar como v - w, y se define como:

v - w = v + (-w)

Gráficamente sería:

4.1.6 Multiplicación de un vector por un escalar

Si se tiene vector v y siendo c un escalar diferente de cero, entonces el producto, cv, es el vector cuya longitud es |c| veces la longitud de v y ésta en la dirección de v si c es positivo o en dirección opuesta a v si c es negativo. Gráficamente será:

4.1.7 Propiedades de los vectores

Si u, v y w son vectores y c y k escalares diferentes de cero, entonces se cumplen las siguientes propiedades.

a) Propiedad conmutativa:

b) Propiedad asociativa:

c) Suma con el vector 0:

d) Resta de un mismo vector:

e) Multiplicación por la unidad:

d) Multiplicación por un escalar:

f)

Estas propiedades las aplicaremos a vectores de dos dimensiones, de tres y n dimensional.

En un plano cartesiano podemos ubicar los puntos, a través de un sistema de coordenadas (x,y), a esta coordenada también se le llama par ordenado debido a que la ubicación de x y y tienen un orden, es decir, siempre colocaremos a las x primero y separadas con una coma a las y. Es por eso que si deseamos ubicar el punto A en (2,3), que es una coordenada de un plano, la representación en el plano cartesiano sería:

Observa que la ubicación de la coordenada A es (2,3), pero si deseamos obtener el vector dirigido desde el origen hasta el punto A, simplemente trazamos una línea desde el origen al punto A y lo llamamos vector posición

como se muestra en la figura anterior.

Ejemplo 1. Dibuja los vectores de posición de los puntos A(3,5), B(3,-1) y C(-2,4).

Los vectores de posición en el plano serían:

Los vectores que poseen solamente dos coordenadas, tales como (x,y), son vectores en dos dimensiones, ya que para representarlos sólo basta el plano cartesiano. A continuación veremos algunos ejemplos, usando vectores en dos dimensiones.

Ejemplo 2. Sean y

vectores en R², determina u + v, u - v, 3u, y -2v.

a)

b)

c)

d)

Para mejor comprensión de lo algebraico a lo geométrico verifica los valores que toman los vectores con los ejes de referencia; así, cuando veamos vectores en el espacio o en el espacio n-dimensional, comprendemos el significado de las operaciones.

A continuación mostramos otro ejemplo que hace referencia a las propiedades de los vectores.

Ejemplo 3. Sean , y

vectores en R², determina el vector 3u - v + 2w.

Entonces:

El vector resultante será:

y de manera geométrica resultará:

Observa como el vector obtenido de manera algebraica se obtiene también en la gráfica.